On m'aurait posé la question sans la réponse, j'aurais répondu :
un nombre de 3 chiffres "vaut" 100A+10B+C, A-B-C étant les chiffres formant le nombre. Il y a 1000 nombres tels que celui-là (de 0 à 999 pour ceux qui savent compter, 10^3 pour ceux qui savent combiner).
petit problème de notation ... convenons que n^m signifie "n exposant m".
Etre premier avec 10, c'est n'avoir en commun que le diviseur 1. Ce qui veut dire pas 2, et pas 5 qui sont les seuls diviseurs de 10.
Bon ... on a donc 100A+10B+C, avec A-B-C différents. On a 10^3 nombres en tout (0 à 999), -10^2 où A=B (001,110,, ... 220, 221, ...), -10^2 où B=C (100, 122, ... 211, ..., 322, ...), -10^2 où A=C (101, 202, ... 212, 222, ...), -10^1 où A=B=C (000, 111, 222, 333, ...) mais il est évident que ce dernier cas est inclus dans les autres. Donc 10^3-3x10^2=700 nombres avec A-B-C différents.
Dans 700 nombres, il y en a 1/5° qui sont multiples de 5 (et qui ont donc 5 comme diviseur), soit 140. Restent 560 nombres.
Les pairs, ceux qui ont 2 comme diviseur en commun avec 10, sont au nombre de la moitié, soit 280.
Il faut, il est vrai, enlever 012, 013, ... 021, 023, ... 098 qui ne sont pas "vraiment" des nombres à 3 chiffres, mais à deux (les 001, 002, ... ont été "enlevés ci-dessus parce que A=B, et 000 parce que A=B=C). Mais on calcule vite (cfr ci-dessous) qu'il y a 36 nombres concernés, moins les 000, 001, 002, ... soit 26 nombres. Et 280-26=254
Damned, je suis un peu trop bas, et je ne vois pas pourquoi ...
Si on faisait le problème avec deux chiffres, mon raisonnement donnerait 100-10^1=90, 90-18=72, 72:2=36 (32 si on ne prend pas les 01, 03, ...)... ce qui, sauf erreur, tombe juste avec l'expérience. Donc je ne vois pas ce qui cloche dans mon raisonnement ci-dessus, et je me demande si 256 est vraiment juste ... Qui a la patience de vérifier sur Excell ?